IREM de Poitiers

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

Flash Info


Le poste de secrétariat n'ayant pas été reconduit en Juillet 2017, nous vous informons qu'un certain retard apparaîtra dans le traitement de vos demandes.


 

Ressources du Colloque Mathématiques en Cycle 3
IREM de Poitiers, 8 et 9 juin 2017


 

 Du 28/09/16 au 07/07/17

Expo Maths & Puzzles

à l'Espace Mendès France de Poitiers

Lire l'article suivant sur notre site Pour préparer sa visite

 

Liste des conférences de mars et avril 2017

Le site Internet de l'IREM est actuellement en cours de rénovation et des perturbations sur son affichage sont à prévoir dans les semaines à venir. Veuillez nous excuser pour le désagrément occasionné.

Dans le cadre de l’expérimentation de l’IREM sur la mise en place d’une progression 6ème par questions (Recherche INRP), j’ai commencé par le chapitre sur les angles avec ma classe de 6C (30 élèves du collège Bellevue de Dangé Saint Romain). C’est la seconde année que je tente cette progression, et je suis cette fois arrivé au bout du premier chapitre de manière plus satisfaisante (au bout de 12 semaines tout de même).

Chaque chapitre (six en tout) propose un parcours (PER) qui construit la notion de grandeur (Angles, Durées, Aires, Prix, Longueurs, Volumes, dans cet ordre l’an passé) selon une organisation cohérente (comparaison absolue et relative, mesure, et variation). Ce parcours prétend répondre à une question de départ, en mettant en évidence les connaissances du programme au moment opportun.

Les problèmes étudiés sont tirés de situations concrètes rendant vivantes (ou du moins pas dénuées de sens) les mathématiques utilisées.

 Voici donc comment se sont déroulées (sur cinq ou six heures) la fin du parcours sur les angles (Etude 3 : mesurer des angles) et la transition sur le parcours suivant, le temps.

Lors de cette troisième étude, nous avons montré comment le géomètre procédait pour calculer des distances inaccessibles (PB1, puis dictées géométriques) puis comment le navigateur pouvait s’orienter (PB2, utilisation approfondie du rapporteur) et enfin comment construire tous les polygones réguliers découverts lors de l’étude 2 (Report et partage des angles). Pour cela j’ai choisi d’utiliser les TICE (logiciel XLOGO), afin d’enrichir les situations de recherches (PB3 : les robots).

Cette dernière situation a été vécue pour ma part et pour les élèves de manière très positive, car nous avons pu apporter la réponse à la question « comment construire des polygones réguliers ? » de façon approfondie, question légitime tant les constructions des roses des vents, et d’horloges dans l’étude 2 avaient souligné les difficultés du partage en 3 ou 5 par exemple.

Mardi matin (heure 1)

 Après avoir répondu à certaines questions relatives au devoir maison à rendre jeudi (voir annexe), nous avons débuté le problème 3, en classe, lorsque j’ai distribué et fait coller aux élèves le document  « Pb 3 les robots », dans leur partie exercices.

 

Ensemble, nous avons explicité la situation: programmer un robot aux capacités limitées (avancer ou tourner). Un élève au tableau a joué dans un premier temps le rôle du robot, puis les élèves ont entrepris de tracer la trajectoire du robot Sexto sur leur cahier, à l’aide de la règle et du rapporteur. La difficulté sur le placement du rapporteur était de nouveau rencontrée et mise en évidence, afin que tous les élèves comprennent les erreurs à éviter et finissent ce travail pour la fois suivante. Le problème de l’échelle 1/10 n’a pas soulevé de difficulté.

Jeudi matin (heure 2)

Je sélectionne quelques cahiers d’élèves puis les montre à la classe (à l’aide de ma webcam et du TBI, il m’est très facile d’afficher trois productions d’élèves différentes). Nous concluons rapidement que la trajectoire est un hexagone, et les élèves ont saisi comment le construire. Au passage, l’angle de 60° est mis à nouveau à l’honneur en tant qu’angle d’une équerre du commerce, les élèves mal à l’aise avec le rapporteur pouvant facilement obtenir la construction et mieux visualiser le placement de l’outil.

L’explication du « pourquoi retombe-t-on sur le point de départ au bout de six virages ? » apparaît en partie : 6 fois 60° donne 360°. Je choisis de garder ce modèle, sans compliquer les choses car tout le monde est convaincu que cette condition (en réalité juste nécessaire) est suffisante.

Nous notons une petite phrase de synthèse du type «  la trajectoire de sexto est un hexagone régulier (6 côtés et 6 angles égaux à 180°- 60° =120°) car 6 x 60° = 360° »

Puis les élèves passent à Quinto puis à Nino (pour les plus rapides).

Le problème de la précision du tracé se repose (certains élèves ne retombent pas pile sur le point de départ aux bout de cinq virages). Je laisse les élèves travailler et améliorer leur tracé tout en circulant dans les rangs pour débloquer les plus faibles.

Puis, en guise de correction, je prends un cahier d’élève où la construction est correcte mais reste imprécise. C’est alors que je leur montre le « robot » avec le logiciel XLOGO. C’est moi qui pilote, en expliquant qu’il faut parler dans le langage de la tortue « av 40 tg 7 ». Les élèves sont très intéressés par ce petit animal virtuel. La précision obtenue les séduit, ainsi que la facilité des commandes. Je leur propose de les emmener en salle informatique afin qu’ils fassent eux-mêmes l’expérience avec les trois premiers robots. Pour l’instant, je les ai emmenés en salle informatique en demi-classe afin de leur montrer l’utilisation de la salle, du réseau, des sites internet utilisés par le collège. Ils sont donc prêts à venir en classe entière (à deux par poste). Ils sont bien-sûr très enthousiastes. Mais avant nous devons finir à la main les trajectoires de Quinto et Nino. Pour occuper les plus rapides, je leur montre comment obtenir des polygones étoilés, et imbriqués, ce qui les motive à obtenir de belles figures (et utiles pour Noël qui approche).

Ensuite, nous notons sur le modèle précédent et en guise de correction des questions 2 et 3 :

 « La trajectoire de Quinto est un pentagone régulier (5 côtés et 5 angles égaux à 180° - 72° = 108°) car 5x72°=360° » et «  la trajectoire de Nino est un nonagone régulier (9 côtés et 9 angles égaux à 180°- 40°= 140°) car 9 x 40° = 360° »

Jeudi après midi (heure 3)

L’après midi, je donne les consignes (voir annexe) et les enjeux du travail en salle informatique : les élèves doivent :

CONSIGNES

1) S’installer (deux élève par poste)

2) Se connecter (avec la session d’un des deux élèves) au réseau.

3) Aller dans l’espace Classe /Travail :

4) COPIER le dossier Maths_Salle_info_3dec_6c  puis le COLLER dans son espace personnel (dossier Maths)

5) Ouvrir le Dossier, et lancer le logiciel Xlogo (double clic puis attendre 10 à 20 secondes)

   Ouvrir le document Pb 3 robots avec Xlogo : vous y trouverez le problème 3 et les commandes pour Xlogo

6) Refaire le problème 3 avec la tortue : pour chaque robot quelles commandes avez-vous tapé ?

 

Vous pouvez répondre sur ce document (tableau ci-dessus), mais il faudra reporter ses réponses dans son cahier car :

                  Chaque élève devra noter dans son cahier les commandes tapées (pour lundi).

 

Puis, nous partons en salle informatique (juste en face de ma salle de classe). La séance se déroule de manière très satisfaisante : les élèves prennent très vite en main le logiciel et arrivent même, pour une dizaine d’entre eux, à exporter leurs constructions dans leurs documents.

Nous nous retrouvons en classe entière pour un premier bilan, et pour finaliser le travail à finir à la maison pour le lundi suivant (constructions à réaliser proprement sur son cahier, et commandes Xlogo correspondantes).

 

 

 

Lundi matin et après midi (heures 4 et 5)

L’heure commence avec la présentation de productions d’élèves (cahiers projetés avec web cam et fichiers informatiques récupérés sur le réseau). Les figures sont belles et variées : polygones étoilés, imbriqués, coloriés ou non, complexes dans le cas de Spirou, ou carrément originaux : quelques élèves ont eu le temps d’explorer des commandes inédites…)

Ensuite je leur présente un document bilan (voir annexe), dont j’annonce la distribution le lendemain. Il contiendra une trace du travail effectué jeudi plus un approfondissement que je leur propose aujourd’hui. Ainsi, la participation de chacun est attendue, sans perte de temps en recopiage sur le cahier.

Le problème de la construction des polygones réguliers est remis sur la table :

« Nous avions appris (lors de l’étude 2) à construire des polygones réguliers à 3,6,12…(type rosace, horloge) 4,8,16…(type roses des vents) mais nous bloquions sur d’autres, quels progrès le rapporteur nous a permis de faire ? »

Au vu de leurs récentes expériences, les élèves répondent 5, 9 ou  18 côtés. En effet, avec l’observation de Spirou, les élèves ont remarqué qu’il fallait faire répéter 18 fois la rotation de 100° pour revenir au départ…La relation  angle x nombre de sommets = 360°  réapparait, avec le problème des angles dont les multiples ne tombent pas sur 360° mais sur un multiple de 360° ( comme 1800°). 

 

En guise de calcul mental (rituel cette fois non noté), je leur propose de compléter les dix multiplications à trous suivantes, sur leur fiche de calcul mental :

60° x     =360°       45° x       = 360°         40° x        = 360°       36° x      =360°      30° x        =360°

 24° x      =360°       20° x        =360°        18° x        =360°         9°x         =360°     1°x          =360°

Lors de la correction immédiate, on met en évidence des techniques de divisions par ordre de grandeurs ou par connaissance des tables, mais aussi des propriétés de commutativité (18°x20 =20°x18), d’associativité (30°x12 =15°x2x12=15°x24), puis on fait le point sur les nombreuses décompositions obtenues pour 360°. Chacune donne un polygone régulier, dont nous rappelons le nom (la nomenclature des polygones semble intéresser plusieurs élèves). Nous pouvons même avec XLOGO, contrôler rapidement si nos calculs donnent vraiment le polygone attendu: le lien entre géométrie et numérique est ici très fort. Les élèves s’étonnent du fait que pour des petits angles, le polygone obtenu ressemble à ….un cercle. Je conserve précieusement ce constat, pour le futur, tout en me disant que je pourrais enchainer sur la longueur du cercle et le nombre Pi, mais ce n’est pas l’objectif des vingt minutes restantes.

Je leur fais donc remarquer l’absence étrange de certains polygones dans notre liste : 7, 11, 13 côtés…  

Nouvelle question : « Comment fait-on avec ceux là ?  Prenons l’heptagone, quel angle permet de le construire ? »

Les élèves proposent 50°, mais voient que c’est trop peu, d’une part, par le calcul car 7x50°=350°, et d’autre part par la construction d’XLOGO que je m’empresse de programmer, car le polygone n’est pas complet : la tortue ne retombe pas sur son point de départ, il lui manque quelques pas ou  quelques degrés…

Alors tout s’enchaine, les remarques fusent, des élèves proposent 51° puis 52°, obtenant ainsi un encadrement, que l’on décide d’affiner par essais successifs : ceux qui connaissent bien les nombres décimaux proposent 51,1° 51,2°…Un élève demande « à quoi correspond le chiffre après la virgule ? », je donne une réponse rapide  «  c’est un dixième de degré ». J’utilise alors le tableur pour faire apparaître rapidement toutes les possibilités, (à 1, 2 puis 3 chiffres après la virgule) en utilisant le vocabulaire et les propriétés des nombres décimaux (entre deux nombres décimaux, il y en a toujours un autre !).

On obtient très vite un encadrement plus précis, et même trop précis car inutilisable au rapporteur. C’est l’avis de la classe, partagé à l’unanimité.

Une élève propose enfin de faire la division de 360° par 7 pour aller plus vite (à obtenir les « bons chiffres »). L’occasion se présentant alors, nous posons l’opération au tableau (je rappelle la technique connue des élèves même si elle n’est pas encore bien maitrisée, en particulier dans ce cas où le quotient est non décimal) et constatons encore le même résultat : 51,42857….

La surcharge cognitive guette mes élèves alors je leur propose de construire l’heptagone en prenant 51,5°, c'est-à-dire l’angle « environ entre 51 et 52° » ; puis de l’étoiler, pour obtenir…. une étoile de shérif, ou une partie du drapeau australien (eh oui, encore une occasion de parler de kangourou ou du Far West…ce qui dédramatise la situation et détend l’atmosphère).

Ce travail est à finir pour le lendemain, avec en supplément, l’hendécagone (11 côtés) en s’inspirant de la méthode étudiée.

 

 

 

 

Mardi matin (heure 6)

La séance commence par la présentation des heptagones et des hendécagones obtenus par quelques élèves, puis nous traitons le cas de l’hendécagone (division par 11 assistée par Xlogo), puis je leur distribue le document promis (que j’ai actualisé en fonction de la veille, voir annexe).

La boucle est bouclée : je finis avec une présentation des polygones obtenus avec Déclic, puis avec Geoflash (qui précise les relations angulaires). Le problème des polygones est donc résolu, si on maitrise la technique de la division : c’est l’un des objectifs annoncés, avec un approfondissement de la numération décimale, du prochain chapitre sur le temps…

La transition est faite : je fais noter le titre « Chapitre2 : les durées » et les trois questions introductives  « Quand parle-t-on de temps ou de durées ? Comment mesure-t-on le temps ? Que doit-on savoir faire sur le temps ? », partie exercices, puis le travail à faire pour jeudi :

- Répondre aux trois questions au crayon

- Construire une horloge graduée en heures (en chiffres romains verts) et en minutes (chiffres « arabes » rouges) et les aiguilles indiquant 8h30.

On explique oralement comment s’y prendre : il faut construire un dodécagone (angle de 30° pour 1 heure, et pour les minutes ? la réponse est vite donnée par une bonne élève : 30° divisés par 5 donc 6° pour chaque minute!)

Puis je leur rends leur devoir maison 4 (voir annexe), puis le corrige rapidement, en insistant sur la partie recherche sur les instruments de mesure anciens (encore un lien entre temps et angles).

Une jeune stagiaire en L3 de Psycho et voulant devenir professeur des écoles a assisté de manière imprévue à cette heure de cours, et m’a avoué être bluffée par l’attention des élèves, qu’elle attribuait au TBI, outil un peu nouveau pour elle. Pour ma part, j’ai trouvé cette séance très rythmée et très riche en contenus, avec des figures complexes, des techniques opératoires nombreuses…Il n’était pas possible pour les élèves de s’endormir ! D’autant que c’était la fin d’un parcours et le début d’un autre….

 

 

Suite des événements : (le jeudi suivant)

Correction de l’horloge et bilan des trois questions

Cours sur les unités de temps

Diaporama sur l’année et les repères du temps

Exercices (combien de secondes dans …. Multiplications, grands nombres….)

Problèmes des calendriers

Devoir sur table (voir annexe)

 

 

CONCLUSION

Ce chapitre sur les angles, même s’il a pris du temps, a permis de mettre en place la notion de parcours d’étude dans la classe, en passant en revue une grande partie du programme de géométrie (vocabulaire, droites, triangles, quadrilatères, symétrie, bissectrices, angles, longueurs, échelles, constructions aux instruments, polygones…) mais aussi de numérique (les 4 opérations sur les entiers et les nombres décimaux, et même la division décimale, les fractions, des techniques de calcul mental…).

Toutes ces notions, qui seront de plus  revues et retravaillées au cours de l’année, ont été abordées dans le cadre de la résolution de problèmes (assez ouverts), et de la réponse à de véritables questions, en soulignant leur utilité et leur ancrage dans la vie des hommes.

Je souligne l’importance de la place des polygones réguliers, et du lien construction/division, qui me semble un point d’appui très intéressant à exploiter dans la construction des nombres décimaux. La transition avec le chapitre sur les durées se fait ainsi naturellement et motive l’acquisition des savoirs et des techniques à étudier.

 

Annexes

Problème 3 les robots avec Xlogo

Problème 3 les robots + Corrigé

DM4

DST3