Irem de Poitiers  
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  Contenus

Approche qualitative et quantitative des séries statistiques.

Etude et rôle des paramètres de position et de dispersion.

Place des tableurs - grapheurs.

 

  PLAN

 

  1. INFORMATION

     

  2. ACTIVITES

     

  3. TABLEURS

     

  4. CONCLUSION

 

 

LA DEMARCHE

 

Référence : Programme de troisième, § c du bandeau.

  Prendre l'habitude de s'interroger :

 

 

LA DEMARCHE - LE PROBLEME

 

On étudie une situation mettant en jeu :

avec pour objectif de RESUMER ces données par des nombres.

 

  +Comment faire un résumé statistique ?
Quelle information choisir ?
Sous quelle forme faire ce résumé ?

 

 

PARAMETRES DE POSITION

 

RESUMER une série statistique par un nombre. Lequel ?

  FREQUENCE - MILIEU - MOYENNE

On résume la série de valeurs par une seule valeur, celle qui la situe le mieux - d'un certain point de vue - en position.

 

 

MODE :

On appelle mode d'une variable x, une valeur de x observée le plus grand nombre de fois (c'est-à-dire une valeur d'effectif maximum)

 

MEDIANE : nombre situé au milieu des valeurs.

On appelle (valeur) médiane µ de la variable x un nombre tel que :
50% au moins des valeurs de x soient < µ
50% au moins des valeurs de x soient > µ

 

Programme : "Les exemples ne devront soulever aucune difficulté au sujet de la détermination de la valeur de la médiane"

 

 

MOYENNE :

On appelle moyenne d'une variable x la moyenne arithmétique des valeurs prises par x. On note ou mx la moyenne de x.

 

Pour éliminer des valeurs aberrantes, donner un moindre poids aux valeurs éloignées du centre de la distribution : moyennes tronquées, moyennes bipondérées, …

 

 

 

ECLAIRAGE MATHEMATIQUE - PROPRIETES

Paramètres de position

 

 

MOYENNE :

1) La somme des écarts algébriques à la moyenne est nulle

2) La somme des carrés des écarts à la moyenne est minimum

3) La moyenne se prête bien au calcul

(regroupements de séries, m(ax + b) = am(x) + b, …)

4) Elle est sensible aux valeurs aberrantes : chaque valeur compte également.

 

MEDIANE :

1) Elle n'est pas sensible aux valeurs aberrantes : ne dépend des valeurs que par leur ordre

2) La détermination est aisée mais la médiane se prête mal au calcul

3) La somme des valeurs absolues des écarts à la médiane est minimum.

 

MODE :

Pour une configuration unimodale , peu dissymétrique, Mo ≈ 3 Me – 2

 

• Si la distribution est symétrique : médiane = moyenne

( = mode, si la distribution est unimodale)

 

 

 

BILAN

Paramètres de position

 

 

• Ne jamais perdre de vue le sens du mot moyen, moyenne dans le contexte ( cf : taux moyen, vitesse moyenne, …)

 

Que choisir ?

– Tenir compte des deux paramètres voire des trois

(médiane, moyenne, mode)

– Interpréter les différences

– Faire le lien avec l'histogramme.

 

 

 

PARAMETRES DE DISPERSION

 

Un deuxième temps du résumé consiste à essayer de chiffrer l'écart des diverses valeurs par rapport à la valeur de position.

ETENDUE

On appelle étendue d'une variable x l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de x.

Programme : "Une série statistique étant donnée, déterminer son étendue, ou celle d'une partie donnée de cette série". D'où :

ECART INTERQUARTILE (interdécile, …)

On appelle 1er quartile un nombre Q1 tel que

25% au moins des valeurs de x sont < Q1

75% au moins des valeurs de x sont > Q1

On appelle 3ème quartile un nombre Q3 tel que

75% au moins des valeurs de x sont < Q3

25% au moins des valeurs de x sont > Q3.

On appelle écart interquartile la différence Q3 - Q1.

 

ECART MOYEN (absolu)

On appelle écart moyen d'une variable x la moyenne e de la distance à la valeur moyenne.

On a : e = .

VARIANCE et ECART TYPE ( écart quadratique)

Au lieu de faire intervenir les valeurs absolues , on fait intervenir leurs carrés.

La variance vx est la moyenne de ces carrés.

L'écart type sx est la racine carrée de la variance.

 

 

 

ECLAIRAGE MATHEMATIQUE - PROPRIETES

Paramètres de dispersion

 

ETENDUE : simple mais entièrement dépendante des valeurs extrêmes.

 

ECART INTERQUARTILE : pas sensible aux valeurs extêmes.

• 50% au moins des valeurs sont dans l'intervalle interquartile [Q1 ; Q3].

 

ECART TYPE :

– sensible aux modifications des valeurs de la série et donc aux valeurs extrêmes

– se prête bien au calcul ( s(ax + b) = |a|s(x), formule de König, … )

• 75% au moins des valeurs sont dans [ – 2 s ; + 2 s]

Si de plus la distribution se rapproche d'une courbe de Gauss :

• 95% des valeurs sont dans [ – 2 s ; + 2 s]

• 68 % des valeurs sont dans [s ; + s]

 

 

 

BILAN

Paramètres de dispersion

 

" L'objet de la méthode statistique est la réduction des données.

Une masse de données doit être remplacée par un petit nombre de quantités représentant correctement cette masse, et contenant autant que possible la totalité de l'information pertinente contenue dans les données d'origine " (Fisher).

 

Donc :

• Associer les différents paramètres

(il existe aussi les paramètres de forme, … )

• Ne pas négliger l'histogramme.

 

 

CHOIX DES EXERCICES

 

Pour avoir un exercice riche et répondant au mieux au programme, il faut :

1) qu'il y ait un problème à résoudre,

2) qu'il y ait une analyse critique des résultats,

3) qu'il y ait comparaison de plusieurs séries,

4) que soient présents :

• la notion de médiane (associée avec mode, moyenne,…)

la notion de dispersion (étendue, intervalle interquartile ou équivalent - série tronquée),

• des représentations graphiques.

 

Réinvestissements possibles :

(graphiques, diagrammes, fréquences, moyennes,…)

 

 

 

Intérêt du TABLEUR

 

 

• Programme :

"Appliquer de manière rapide à des données statistiques les traitements étudiés".

 

1) Faire varier facilement les données et observer la variation des différents paramètres :

+ Faciliter la compréhension des notions.

 

2) Traiter rapidement et conjointement les données.

– directement : graphique, moyenne,…

– indirectement : médiane (tri, effectifs cumulés, éventuellement test).

 

• Utilisation :

– en classe : élèves / prof

– pour produire des documents intéressants.

Statistiques – Objectifs des programmes de la 6ème à la 3ème.

La proportionnalité est le fil conducteur

6ème : – Lecture, interprétation, utilisation de diagrammes, tableaux, graphiques.

– Analyse critique (éducation du citoyen)

– Familiarisation avec les grandeurs courantes, les outils modernes à partir de situations concrètes en liaison avec d'autres parties du programme ou d'autres disciplines.

Contenus : lecture, établissement de relevés statistiques

5ème: – Lecture, interprétation, réalisation, utilisation de diagrammes, tableaux, graphiques.

– id

Contenus : lecture, interprétation de : un tableau, un diagramme à barres, un diagramme circulaire ou semi-circulaire.

regrouper en classes, calculer des effectifs

présenter une série sous forme de tableau, représenter sous forme de diagramme ou de graphique.

calculer des fréquences.

4ème : – id

insistance sur l'utilisation des moyens de calcul modernes (calculatrices, tableurs-grapheurs)

Contenus : effectifs cumulés, fréquences cumulées, moyenne :

– d'une série

– valeur approchée d'une série regroupée en classes d'intervalles

utilisation de tableurs-grapheurs.

3ème : - étude des paramètres de position

- abord de l'étude de la dispersion

- lien avec l'éducation du citoyen :

+ habitude à s'interroger sur :

• la signification des nombres

• l'information apportée par le résumé statistique

• la perte d'information

• les possibilités de généralisation

• les risques d'erreurs d'interprétation et leurs conséquences possibles.

Contenus : pour une série donnée (liste, tableau, graphique)

- proposer une valeur de la médiane et son interprétation

- déterminer l'étendue d'une série ou celle d'une partie donnée (élimination des valeurs extrêmes)

- utiliser les tableurs-grapheurs

comparaison de séries - Analyse critique.

 

Document élaboré par le groupe 1er cycle de l'Irem de Poitiers


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