IREM de Poitiers

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

Flash Info

Colloque Mathématiques en Cycle 3
IREM de Poitiers, 8 et 9 juin 2017


 

 Du 28/09/16 au 07/07/16

Expo Maths & Puzzles

à l'Espace Mendès France de Poitiers

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Académie de Poitiers - Maths

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Cinq bonnes raisons d’amener les élèves de lycées à visiter l’exposition

Mathématiques & puzzles

à l’Espace Mendes France de Poitiers.

 

Le mot « Puzzle » est trop souvent associé à « Distractions ludiques ». De là à penser qu’une exposition sur les maths et les puzzles est conçue pour des élèves de primaire et collège, il n’y a qu’un pas.

Or la prouesse de cette exposition consiste, sur les mêmes manipulations, à intéresser chaque visiteur quelque soit son âge et son niveau. Oui cette exposition s’adresse aux visiteurs « de la maternelle à l’Université », devise chère à l’APMEP, et donc aussi aux lycéens et universitaires : ouverture sur des thèmes à travailler en classe, découverte de certains résultats vus sous une autre forme, réhabilitation des manipulations en maths... Voici cinq bonnes raisons d’amener vos élèves à cette exposition.

Montrer que les mathématiques ne se sont pas nées d’hier, vivent encore aujourd’hui et vivront demain.

 

Trop souvent les élèves pensent que les mathématiques sont une discipline purement scolaire, que tout a été dit et trouvé, et que les problèmes posés aux élèves ne sont que des délires d’esprits un peu obsédés voire dérangés.

Pour infirmer ces idées reçues, il est utile de leur montrer que les mathématiques se sont construites petit à petit en manipulant d’abord avant d’abstraire des concepts divers.

Savez-vous que les chinois et les grecs ont bâti leur géométrie depuis l’antiquité, en découpant des figures, des solides pour établir des résultats aussi divers que les formules d’aires et de volumes ou le théorème de Pythagore. En effet, il suffit de connaitre l’aire du rectangle pour en déduire par puzzles, les aires du triangle, du trapèze etc. et même du cercle. Il en est de même pour les volumes : d’où vient le volume  du prisme, et celui de la pyramide et de la sphère ? Déjà par ces manipulations, on initie au calcul intégral. Et l’on pourra ensuite utiliser des suites dont l’élève comprendra alors l’intérêt.

Bien sûr l’homme a un esprit curieux et la manipulation des puzzles a alimenté son questionnement. Des réflexions sur les découpages ont alors  surgit : étant donnés deux polygones de même aire, est-il possible d’en découper un pour reconstituer l’autre ? La réponse est oui et la compréhension de la démonstration est accessible à un élève de lycée ! Il suffit de savoir découper un triangle en rectangle et découper un rectangle en carré. Tout cela avec comme seule ressource les lignes trigonométriques du triangle rectangle !

Mais comment cette question  se transpose-t-elle à l’espace ? Et quelle est la réponse ?

Les puzzles peuvent aussi s’apparenter à des tours de magie. Comment en déroulant les morceaux d’un triangle obtenir un carré ? La question mathématique posée est celle des puzzles articulés. Quels sont les puzzles qui peuvent s’articuler ? C’est un domaine de recherche actuel de certains mathématiciens. Mais comment concevoir une visualisation de puzzles articulés avec GeoGebra ?

Les tangrams ou similaires sont apparus comme des jeux distrayants chez les grecs et bien plus tard chez les chinois ; mais pourquoi un mathématicien comme Archimède s’y est-il intéressé et comment a-t-on découvert ses travaux ? Les techniques d’imageries les plus diverses ont levé en partie le voile : mais quels sont les rapports entre les travaux d’Archimède et le nombre de combinaisons des chiffres du loto ?

 

Se rendre compte que les mathématiques vivent en dehors du cours des mathématiques dans le monde qui nous entoure.

 

Oui, les mathématiques ça sert, et même, parfois, leurs applications sont inattendues ! Durant plus de  deux mille ans, on a étudié les nombres entiers et leurs propriétés (être premiers, être amis ; être pair ; impair, abondants…). Les mathématiciens étaient persuadés que ces études ne serviraient à rien mais que les résultats étaient beaux et que l’esthétique de ces résultats pouvait s’apprécier au même titre qu’un tableau de Picasso ou de Raphaël. Quels mathématiciens avant 1950 pouvaient  penser que l’arithmétique allait devenir une des branches des mathématiques les plus fécondes dans  ses applications et ceci grâce à l’invention des ordinateurs et de la numérisation.

Les puzzles, quant à eux, ont été utilisés depuis longtemps, comme en témoignent les travaux d’Abul Wafa au Xe siècle destinés aux artisans, pour construire des mosaïques et des dallages, et servent encore actuellement : on les trouve dans les jeux électroniques (Tetris) ou autre (Katamino) et les plasticiens les utilisent abondamment (étagères, tables en forme de puzzles, lampes…).

On peut aussi constater, dans cette exposition, que les mathématiques et les arts graphiques peuvent être liés de manière simple comme le montrent les puzzles qui partent des œuvres de Mondrian.

 

Redécouvrir, en manipulant, des  notions déjà vues en cours sous un autre angle.

 

Pourquoi certaines reconstitutions de figures sont exactes et d’autres sont approchées ? Pour cela, il est utile de faire des démonstrations afin de justifier que les figures reconstituées sont bien celles qui sont annoncées. Cela nécessite parfois quelques calculs sur les racines, l’emploi du théorème de Pythagore ou bien des considérations sur les angles, voire l’utilisation de la géométrie repérée. En situation, on peut ainsi faire des démonstrations !

Bien sûr les paradoxes laissent perplexes : 63 = 64 ? S’il est facile pour un élève de lycée de démonter le paradoxe, il est intéressant de l’approfondir par l’étude des suites de Fibonacci afin de comprendre et de généraliser ce paradoxe. Bien sûr il est encore possible d’aller plus loin en TS spécialité et montrer comment, en partant de ce paradoxe, on arrive à une visualisation géométrique des coefficients de Bezout. L’exposition peut être aussi un point de départ pour présenter autrement les notions des programmes !

Mais revenons à des résultats plus familiers : l’établissement de formules arithmétiques se fait en terminale par récurrence, raisonnement certes très puissant mais opaque. La démonstration est imparable mais elle suscite toujours une gêne à ceux qui veulent comprendre le sens caché de la formule. Pourquoi divise-t-on par 6 dans la formule donnant la somme des carrés des entiers ? Quels liens entre la somme des cubes des entiers et la somme des entiers ? Les manipulations produisent ce que la récurrence ne peut pas faire à savoir donner le sens profond de la formule. Et que dire de la visualisation des identités remarquables et de la compréhension de la façon (illustrée par des puzzles) de résoudre les équations du second degré et dont Tartaglia s’est inspiré pour résoudre les équations du troisième degré qui ont débouché sur la création des nombres complexes ?

 

Comprendre comment peuvent se construire des puzzles géométriques.

 

On peut regarder certaines manipulations au premier degré : reconstituer un chat avec les pièces du Tangram ou bien se poser des questions plus délicates du genre : combien de polygones convexes peut-on construire avec les pièces du Tangram ? Peut-on trouver un algorithme pour y parvenir ? Bien sûr on peut résoudre en partie par tâtonnement mais comment prouver qu’il y en a 13 ?

Mais allons plus loin : les pièces du tangram sont des juxtapositions du plus petit triangle rectangle isocèle (un carré en a 16). Mais comment concevoir un autre tangram  en regroupant autrement ces triangles pour obtenir davantage de polygones convexes en utilisant toutes les pièces ?

Comment peut-on construire le tangram de Brügner ? Des connaissances du lycée  permettent d’y arriver.

Comment découper deux puis trois carrés identiques pour en former un seul ? Pourquoi est-il relativement facile de transformer n carrés identiques en un seul si n peut s’écrire a² + b²a et b sont entiers ?

Nombre de découpages proposés par Sam Loyd utilisent les connaissances des lycéens et sont autant de source de problèmes.

 

Montrer en situation l’usage de l’algorithmique.

 

La résolution de nombreuses questions que pose cette exposition se fait par l’algorithmique à la fois pour dénombrer ou pour trouver des agencements.

La question vraisemblablement posée par Archimède sur le nombre de façons différentes de reconstituer le Loculus a été résolue à la fois à la main et à la machine.

La recherche du nombre de pentaminos, d’hexaminos etc. requiert des procédures algorithmiques (comme la recherche des pentacubes, hexacubes… dans l’espace.

Rechercher les rectangles ou les carrés qui peuvent être carrelés par des carrés ou bien rechercher le nombre minimal de carrés carrelant un carré relèvent aussi d’une recherche organisée.

Eh oui ! Cette exposition s’adresse aussi aux lycéens !

 

Pour en savoir plus sur cette exposition : Exposition Maths et Puzzles du 28/09/16 au 07/07/2017