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Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

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IREM de Poitiers, 8 et 9 juin 2017


 

 Du 28/09/16 au 07/07/17

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à l'Espace Mendès France de Poitiers

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Auteur

Jean-Claude THIENARD

 

Résumé

L'analyse est née d'une création, le calcul infinitésimal, qui à la fin du XVIIème siècle a permis d'apporter des méthodes générales et algorithmiques à de grandes classes de problèmes posées quelques décennies auparavant : problèmes de tangentes, de quadrature, de rectification, de maximis et minimis, de développées, de caustiques, etc.

Le calcul différentiel et intégral a été érigé sur la base de ces calculs infinitésimals, qui bien que critiqué dans ses fondements s'est imposé grâce à sa prodigieuse fécondité et facitilé d'application.

Ces méthodes furent supplantées à la fin du XIXème siècle par celles de l'analyse de Weierstrass liées aux problématiques qui conduisirent aux constructions de IR. Il apparut alors évident aux mathématiciens de la fin du XIXème siècle et au début du XXème siècle que les infinitésimaux, ne pouvant que produire des théories contradictoires, avaient à jamais disparu des mathématiques. Or en 1963, un livre de A. Robinson "Non Standard Analysis" leur redonnait vie dans le cadre sophistiqué de la théorie des modèles.

 

Les concepts de l'analyse classique recevaient alors des formulations et un traitement dans la logique de l'histoire de leur création et d'un grand intérêt au niveau didactique, comme le démontrent un certain nombre d'expériences d'enseignement menées aux Etats Unis principalement.

Cette brochure esquisse ce qui pourrait être un enseignement de l'analyse élémentaire par ces méthodes.

Elle comprend également :

1) Une note historique dans laquelle est présentée l'analyse infinitésimale telle qu'elle fut créée à la fin du XVIIème siècle, à travers des textes de Newton, Berkeley, Lagrange, Euler, Carnot, Cauchy, etc.

2) Une note sur l'Analyse Non Standard dans laquelle sont présentés les points de vue de A.Robinson et de E.Nelson et de quelques divulgateurs.

 

Date

Mai 1991

 

 

SOMMAIRE

 

Introduction

 

Chapitre I : constitution de repères et d'images mentales au travers de quelques problèmes simples

 

Chapitre II : étude de fonctions par des processus de discrétisation. Les limites de l'outil de calcul

 

Chapitre III : les approximations de la physique. La mise au point des techniques de calcul infinitésimal

 

Chapitre IV : les grands concepts : limite

 

Chapitre V : les grands concepts : dérivée

 

Chapitre VI : les grands concepts : continuité

 

Chapitre VII : les grands concepts : intégrale

 

Chapitre VIII : les grands concepts : courbe asymptote

 

Annexe I : note historique sur l'analyse infinitésimale.

Le point de vue de Leibniz à travers l'œuvre de Carnot. Les critiques de Rolle et de Berkeley. Les réponses. Un exemple des pratiques de la fin du XVIIIème emprunté à Euler. Vers l'abandon du calcul. L'apport de Cauchy

 

Annexe II : note sur l'analyse non standard (compléments théoriques).

Première approche de l'analyse non standard d'après un point de vue développé par G. Reeb. Une analyse infinitésimale simple et consistante d'après "Rêveries infinitésimales" de R. Lutz. Une version simplifiée de l'A.N.S. (Analyse non standard) d'après "Radically elementary probability theory" de E. Nelson.

Quelques énoncés de l'A.N.S. Conclusion

 

Annexe III : Axiomatique de J. Keisler dans "Elementary Calculus"

 

Annexe IV : Théorème de Grégoire Saint-Vincent-Sarraza.

Reprise d'un théorème démontré au XVIIème siècle, mettant en évidence le caractère logarithmique des aires hyperboliques. Une définition des logarithmes hyperboliques